【教學目標】

（一）.知識和能力

1.學會圓的標準方程的推導方法。

2.掌握圓的標準方程及其求法。

（二）.過程和方法

(1)通過電腦演示，引導學生探究、分析圖形的幾何特征，再用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

(2)學生經(jīng)歷圓的標準方程的推導過程，逐步形成在坐標系下用坐標法解幾何問題的能力，掌握自主學習的方法和形成合作學習的習慣。

(3)通過例題練習的思考驗算，掌握求圓的方程的方法，提高知識的應用能力。

（三）.情感態(tài)度和價值觀：

(1)教學中運用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、檢驗等合情推理方法，運算能力和邏輯推理能力以及思維品質(zhì)得到體驗和提升。

(2)培養(yǎng)勇于探索、堅韌不拔的意志品質(zhì)，通過圓的標準方程的學習感悟數(shù)學中的曲線美、方程美，激發(fā)創(chuàng)造美的意識。

【教材分析】

1.教學對象分析

圓是學生比較熟悉的曲線。在初中幾何課中已經(jīng)學習過圓的性質(zhì)，這里只是用解析法研究它的方程與其他圖形的位置關(guān)系及一些應用。而在前一節(jié)直線的學習中，學生已經(jīng)感知了解析法、幾何條件與代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化的基本思想。對此，教師可在課堂上通過各種教學方法，幫助學生經(jīng)歷如下過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾何教學的始終，幫助學生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

2.教學內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容首先是回顧初中已有的圓的有關(guān)知識的基礎上引入確定圓的條件，并提出問題：在平面直角坐標系中，怎樣用坐標的方法刻畫圓呢？過度到下一個問題：圓的標準方程的推導，這是本課時的核心內(nèi)容，通過圓的定義，利用兩點間距離公式推導出方程，需要讓學生充分認識方程的形式特點和參數(shù)a、b、r的意義。最后通過例題讓學生分析探究，學會求圓的標準方程的方法。另外應注意練習2中通過方程中數(shù)量關(guān)系的分析，明確形似圓的方程，但不表示圓的問題，體會數(shù)與形的密切聯(lián)系。

以上的方法應盡可能在老師的啟發(fā)引導下，由學生自己比較、歸納得到。

【重點難點】

重點：圓的標準方程的求法。推導圓的標準方程是一個幾何條件代數(shù)化的過程，體現(xiàn)了解析幾何的根本方法；根據(jù)具體幾何條件寫出圓的方程是本節(jié)教材的主要解決的問題；其它幾何條件轉(zhuǎn)化為圓的定義的條件再求圓的方程需要對具體幾何條件加工分析，聯(lián)系圓的定義和幾何性質(zhì)，是培養(yǎng)學生自主探究意識，發(fā)展思維，提高只是綜合應用能力的良好素材。

難點：求圓的方程時幾何條件轉(zhuǎn)化的思維過程和代換方法。由圓的定義推導圓的標準方程是幾何關(guān)系代數(shù)化的過程，對解析幾何僅學過直線的高一學生來說，還不是很熟悉；其它幾何條件化歸為圓的定義的條件更需要較強的綜合分析與應用能力和聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化的思維意識，要求較高。

【課時建議】  一課時

(五)學法指導：在課前必須先做好初中圓的認識有關(guān)知識的復習，并預習本節(jié)教材，讓學生帶著疑問聽課，以提高聽課效率。知識的形成和問題的解決采取學生自主研究和合作探究的學習方法；注意由已有知識研究形成新知識以及聯(lián)想、類比的思維方法。

【教學建議】

（一）．“教學策略”建議

1.這是一節(jié)介紹新知識的課，而且本節(jié)內(nèi)容還非常有利于展現(xiàn)知識的形成過程，所以本節(jié)力求“過程、結(jié)論并重；知識、能力、思想方法并重”。

2.在展現(xiàn)知識的形成過程中，盡量避免學生被動接受，而采取探究式，引導學生探索，重視探索過程。

在整個探求過程中，充分利用了“舊知識”及“新知識的形成過程”，并利用它探求新知識。這樣的過程，既是學生獲得新知識的過程，更是培養(yǎng)學生能力的過程。

（二）.“提出問題”建議:可通過以下兩種方式提出問題，引入課題

1．  以直線類比：在解析幾何中，我們學習了直線，把它放在坐標系內(nèi)可以求出它的方程，根據(jù)方程利用代數(shù)方法討論直線的很多性質(zhì)。圓是一種非常優(yōu)美的平面圖形，我們能不能求出它的方程呢？我們現(xiàn)在就研究這個問題。

2．  
以實物展示：用投影展示幾幅圓的圖片，然后提出問題：標志牌的數(shù)字應如何確定位置？

 

汽車變速箱中的齒輪上兩齒間的距離是多少？若我們能求出圓的方程，就可以解決這些問題，本節(jié)課開始我們就研究圓的方程。

(三).“問題探究”建議：

1.確定圓的條件：復習初中圓的定義，圓心、半徑兩個條件可確定圓，圓心—定位置，半徑—定大小。

2.推導圓的標準方程：這是本節(jié)課的核心內(nèi)容，首先引導學生將圓放在坐標系中，設定圓心坐標C（a，b）和半徑r，設圓上任意一點為P（x，y），提出問題：點P，C與r有什么關(guān)系？能用坐標表示嗎？學生探究，得出關(guān)系式。然后化簡形成圓的方程。在推導過程中滲透軌跡思想，掌握標準方程形式。另外給出圓心在原點的圓的標準方程。

(四).“知識應用”建議：求圓的方程是本節(jié)主要解決的問題，教材安排例1可讓學生直接口答；例2給出了直徑的兩個端點，需要學生聯(lián)系中點坐標公式、兩點間距離公式求出圓心坐標和半徑，再寫出圓的方程；此外可增加圖形幾何條件轉(zhuǎn)化，化歸為圓再求方程的例子，如：已知直角三角形ABC中斜邊AB的端點A的坐標（－2，1），B的坐標為(4，3)，直角頂點C的在什么曲線上？你能求出它的方程嗎？以培養(yǎng)學生新舊知識聯(lián)系、條件轉(zhuǎn)化化歸的意識。

【評價建議】：

(一).學業(yè)評價：

1.     寫出下列各圓的方程：

（1）圓心在原點，半徑為5；   答案： 。

（2）經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(6，2）;   答案： 。

（3）以A(2,5)，B(0,-1)為直徑的圓。   答案： 。

2.     下列方程分別表示什么圖形？

（1） ；    答案：一個點（0，0）。

（2） ；答案：圓心在（1，-2），半徑為 的圓。

（3） ；答案：圓心在原點（0，0），半徑為1的圓在x軸及其上方的部分。

補充練習：可適當補充一些綜合性練習

A組

1.求圓心在直線 上，且經(jīng)過兩點P（1，0），Q(-1，2)的圓的方程。

提示：圓心也在PQ的垂直平分線 上，聯(lián)立 與 解出圓心，再求出半徑。  答案：

2.方程 表示什么曲線？畫出它的圖形。

答案：圓 的上半部分。

B組

1.求圓心在直線2x-y-3=0上，且過點M(5，2)和N(3，-2)的圓的方程.

提示：圓心也在MN的垂直平分線 上，聯(lián)立 與 解出圓心，再求出半徑。  答案：

2.已知等腰三角形頂點為A（2，1），底邊一個端點為B（1，-2）,求另一底邊端點C的在什么曲線上？你能求出它的方程嗎？

提示：點C到A的距離與點B到A的距離相等。   答案 ： 。

可根據(jù)學生程度選用.

(二).課堂觀察

1.舊知識回顧提問,例題1,2解答思路、方法提問，評價學生知識基礎以及新知識掌握狀況；2.通過推到圓的標準方程和補充例題思路探究學生討論和發(fā)言的觀察評價探究表現(xiàn)，思維能力，合作意識。

 

 

教學設計案例

2．1．圓的標準方程

西安高新第一中學  梁杰

（一）教學前奏：

1.教學對象分析

圓是學生比較熟悉的曲線。在初中幾何課中已經(jīng)學習過圓的性質(zhì)，這里只是用解析法研究它的方程與其他圖形的位置關(guān)系及一些應用。對此，教師可在課堂上通過各種教學方法，幫助學生經(jīng)歷如下過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾何教學的始終，幫助學生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方一、2.教學內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容首先是回顧初中已有的圓的有關(guān)知識的基礎上引入確定圓的條件，并提出問題：在平面直角坐標系中，怎樣用坐標的方法刻畫圓呢？過度到下一個問題：圓的標準方程的推導，這是本課時的核心內(nèi)容，通過圓的定義，利用兩點間距離公式推導出方程，需要讓學生充分認識方程的形式特點和參數(shù)a、b、r的意義。最后通過例題讓學生分析探究，學會求圓的標準方程的方法。另外應注意練習2中通過方程中數(shù)量關(guān)系的分析，明確形似圓的方程，但不表示圓的問題，體會數(shù)與形的密切聯(lián)系。

以上的方法應盡可能在老師的啟發(fā)引導下，由學生自己比較、歸納得到。

3．教學任務分析

（1）.知識和能力

①學會圓的標準方程的推導方法。

②掌握圓的標準方程及其求法。

(2).過程和方法

①通過電腦演示，引導學生探究、分析圖形的幾何特征，再用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

②學生經(jīng)歷圓的標準方程的推導過程，逐步形成在坐標系下用坐標法解幾何問題的能力，掌握自主學習的方法和形成合作學習的習慣。

③通過例題練習的思考驗算，掌握求圓的方程的方法，提高知識的應用能力。

(3).情感態(tài)度和價值觀：

①教學中運用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、檢驗等合情推理方法，運算能力和邏輯推理能力以及思維品質(zhì)得到有體驗和提升。

②培養(yǎng)勇于探索、堅韌不拔的意志品質(zhì)，通過圓的標準方程的學習感悟數(shù)學中的曲線美、方程美，激發(fā)創(chuàng)造美的意識。

（二）．教學過程

1.情境引入，提出問題：

在解析幾何中，我們學習了直線，把它放在坐標系內(nèi)可以求出它的方程，根據(jù)方程利用代數(shù)方法討論直線的很多性質(zhì)。圓是一種非常優(yōu)美的平面圖形，我們能不能求出它的方程呢？我們現(xiàn)在就研究這個問題。

2.探索研究，得出結(jié)論：

在初中幾何課中已經(jīng)學習過圓的知識，什么是圓？（提問學生）

確定圓的基本條件為圓心和半徑，圓心—定位置，半徑—定大小。

   提出問題：在平面直角坐標系中，怎樣用坐標的方法刻畫圓呢？

設圓的圓心坐標為C(a,b)，半徑為r。（其中a、b、r都是常數(shù)，r>0），設P (x,y)為這個圓上任意一點，那么點P、C與r有什么關(guān)系？能用坐標表示嗎？,由兩點間的距離公式讓學生寫出點P適合的條件     ①

化簡可得：        ②

                                                                                                                                                                                                                                           

 

 

 

引導學生自己證明 為圓的方程，得出結(jié)論。

方程②就是圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程。

學生思考：圓心在原點，半徑為r的圓的方程:  .

3.知識應用，解題研究

例1．求以為 圓心,半徑等于3的圓的方程.

提問學生，說出圓的方程。

教師評講，以圓的標準方程為公式，找出圓心坐標和半徑大小，代入公式，得出方程。

例2．已知兩點M₁（4，9）和M₂（6，3），求以M₁M₂為直徑的圓的方程。

   引導分析：從圓的標準方程   可知，要確定圓的標準方程，可用確定 三個參數(shù)。如何求出a，b，r.（學生自己運算解決）

    學生總結(jié)，已知圓的一條直徑的兩端點，如何求圓心和半徑。

練習1 寫出下列圓的方程

（1）       圓心在原點，半徑為5．

（2）       經(jīng)過點P(5，1)，圓心在點Ｃ(6，－2)。

（3）       以A(2，5)，B(０，－１)為直徑的圓。

答案

（１） ;    (2) ;  (3) .

例3．已知直角三角形ABC的斜邊AB的端點A的坐標（－2，1），B的坐標為(4，3)，直角頂點C的在什么曲線上？你能求出它的方程嗎？

師生共同分析: 讓學生思考：直角頂點C所在的曲線是什么圖形？聯(lián)系圓的性質(zhì)，是以AB為直徑的圓，學生自行求出方程。

練習2

1.求圓心在直線 上，且經(jīng)過兩點P（1，0），Q(-1，2)的圓的方程。

提示：圓心也在PQ的垂直平分線 上，聯(lián)立 與 解出圓心，再求出半徑。  答案：

2.方程 表示什么曲線？畫出它的圖形。

答案：圓 的上半部分。

總結(jié)歸納：根據(jù)確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心坐標和半徑大小，然后再寫出圓的標準方程.

4.思考與探究：

下列方程分別表示什么圖形

（1） ；     （2） ；     （3） 。

答案：（1）點O（0，0）

     （2）圓心為（1，-2），半徑為 的圓；

     （3）圓 的在 軸及其上方的部分。

第2題學生思考、討論回答，分析坐標 的范圍，體會方程與曲線的關(guān)系。實現(xiàn)利用數(shù)量關(guān)系研究幾何圖形的過程。

5.課堂小結(jié)：

1、  圓的標準方程。

2、  根據(jù)已知條件求圓的標準方程的方法。

3、  由圓的標準方程研究圓的幾何特征。

6.作業(yè)：

課本 習題2.2第1、2題

補充習題

1.求圓心在直線2x-y-3=0上，且過點M(5，2)和N(3，-2)的圓的方程.

提示：圓心也在MN的垂直平分線 上，聯(lián)立 與 解出圓心，再求出半徑。  答案：

2.已知等腰三角形頂點為A（2，1），底邊一個端點為B（1，-2）,求另一底邊端點C的在什么曲線上？你能求出它的方程嗎？

提示：點C到A的距離與點B到A的距離相等。   答案 ：

7.教學反思：本課時教學流程中，以直線類比提出問題自然流暢，也預示了圓的研究方法與直線相似；問題探究過程中以尋求圓上任一點P的坐標（x, y）的關(guān)系為出發(fā)點，實現(xiàn)了幾何條件坐標化，推導出了圓的標準方程；例題練習有效地使知識和方法得到了實踐、形成和落實，通過練習、討論、提問等方式的觀察性評價和檢測性評價。

教學方式上由已有知識引出、推導新知識，符合學生的認知規(guī)律；問題探究和例題思路分析的教學設計體現(xiàn)了自主學習，合作學習、探究性學習的教學理念，對發(fā)展學生的思維，提高能力起到了一定的作用。

但在教學過程中，學生活動的全面性不夠；由于缺少曲線與方程的理論和軌跡思想，知識的完備性和深度不足；容量偏大，需合理安排時間。